MINCOWSHI DE DOBLE “t” y LA PARADOJA DE LA LLAVE Y EL CANDADO

Bueno, me animo a escribir esto porque he llegado al convencimiento de que hay muchas personas con las que he cambiado impresiones, que discrepan conmigo en algunos aspectos de la interpretación de la Teoría de la Relatividad.

No se si habéis oído hablar de la paradoja de la llave (o la del mosquito, que se basan en el mismo fundamento).

Se trata de un candado con una cerradura de mecanismo muy simple es una U, y su llave una T, de tal manera que la longitud del palo vertical de la T entra en la U teniendo la misma longitud que las paredes o palos verticales de la U, dándose que al introducir la llave (T) en la cerradura del candado (U), la llave toca a la vez en el fondo y en los extremos de las paredes (palos verticales) de la cerradura con sus salientes horizontales (T).

Al tocar la llave el fondo de la cerradura, el mecanismo de abertura del candado se activa y este se abre.

La supuesta paradoja consiste en llevar este mecanismo a velocidades relativistas y en el marco de relatividad especial.

Si para el candado, la llave se acerca a velocidad muy cercana a “c” , la observará con menor longitud en la dirección de avance de esta, siendo más corto el palo de la llave que entra en la U, haciendo tope antes en la parte exterior de la cerradura, los salientes horizontales de la llave, y no llegando el palo vertical al fondo de la cerradura, no abriéndose el candado. Esto desde la observación del candado.

Pero el suceso observado desde la llave es completamente opuesto. La llave observa al candado con menor longitud de sus paredes verticales (U) que su palo vertical y en el momento de introducirse la llave en el candado, el palo vertical de la llave toca el fondo de la cerradura antes de llegar sus salientes horizontales a la parte exterior de la cerradura; por lo que el candado se abrirá.

Esta supuesta paradoja se explica en algunos casos aportando una solución que consiste en tener en cuenta la “onda de transmisión de la información”. Se utiliza un elemento no físico, pues la información de por sí no es otra cosa que la percepción del suceso por parte del observador, lo que implica a un ser consciente y a un suceso físico, una interacción. El suceso físico por lo tanto sería una onda de acción, de fuerza, y en un cuerpo considerado, no como sólido ideal, sino como compuesto de partículas, heterogéneo, con campos que afianzan una estructura estable. Y de esta manera, considerar a la onda como una desestructuración del cuerpo, esto nos lleva a aceleraciones y Relatividad General. Y es que, en un ejemplo de Relatividad Especial, no puedes someter a los cuerpos a cambios de estado inercial sin más. Si queremos interpretar la relación entre distintos Sistemas Referenciales Inerciales, debemos evitar cambios en los cuerpos. Los cambios solo tienen que ser de observación.

En más de una ocasión he discrepado en hilos y discusiones respecto a la interpretación de un mismo cuerpo o referencia desde distintos Sistemas Referenciales, y este creo que es el problema principal por el que, erróneamente, a estos ejp., se les clasifica como paradojas.

En algún foro he podido observar como algunos compañeros consideraban que, en el ejp. de “los gemelos”, cuando el gemelo viajero se aleja o se acerca a la Tierra a velocidad constante, este tiene distinto tiempo propio que el hermano sedentario en la Tierra, mientras yo pienso que al estar ambos en (despreciando las aceleraciones de la Tierra) estado inercial, ambos poseen el mismo tiempo propio, o sea, que envejecen a igual rapidez, y que es solo en los tramos en que el viajero acelera para cambiar velocidades y sentido, cuando, este, envejece más lentamente, o sea, posee menor tiempo propio.

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Para explicar esto voy a centrarme en el ejp. de “la llave”, por elegir uno.

El candado observa a la llave con menor dimensión en la dirección en que esta avanza hacia él, pero no se trata de lo que observe el candado, pues sería una información incompleta del estado de la llave desde el Sistema Referencial del candado, ya que solo puede observar de la llave su estado de acercamiento. Pero la llave representa un movimiento lineal, o sea, en una dirección y sentido, lo que implica acercamiento hacia un extremo de la línea ideal y alejamiento hacia el extremo opuesto de dicha línea. Esa sería la definición completa de ese desplazamiento.

Si en el ejp. de la llave desplazamos ortogonalmente a sí misma la trayectoria de la llave, de manera que justo no toque al candado en el momento en que ambos se crucen en sus trayectorias paralelas ahora; la llave pasaría de largo y curiosamente, sin cambiar esta de estado, pasaría a ser observada por el candado con longitud más larga en el palo vertical que la profundidad del agujero de la cerradura.

Conforme se acerca la llave, el candado la observa con tiempo propio mayor al suyo, y la luz que refleja la llave, le llega desplazada al ultravioleta. Y cundo la llave se aleja, la observa con tiempo propio menor al suyo en la misma diferencia que en el caso anterior, y la luz que refleja en la llave, la recibe el candado desplazada al infrarrojo en la misma cantidad que en el caso anterior al ultravioleta.

Pero, solamente cuando la llave se encuentra a la distancia mínima del candado, cuando ambos se encuentran en un mismo eje ortogonal de desplazamiento de las trayectorias paralelas de ambos, es cuando el candado observa por igual los dos efectos de observación complementarios. En ese momento observa a una llave con el mismo tiempo propio que el suyo, y la misma longitud del palo vertical que tendría si se encontrase en su mismo estado inercial.

Y esta es la completa interpretación del estado de la llave desde el sistema referencial del candado. Y la que nos dice que no hay ninguna paradoja; que la llave abriría el candado. Se observe desde donde se observe. El suceso sería único, el candado se abre.

El fundamento de esto es que no se debe valorar el estado de un cuerpo desde un observador concreto, sino desde el Sistema Referencial de éste en general. No hay que confundir la realidad interna de observación e interacciones que suceden en un cuerpo, partícula, observador, etc… siendo sucesos de sí mismo, de su referencia espaciotemporal; con los sucesos causantes de esta observación o interacción desde el observador, pero siendo sucesos ajenos, separados de las referencias espaciotemporales del observador. Sucesos con sus propias referencias dentro del mismo Sistema de Referencia del observador.

Un ejp. habitual que tenemos superado en este sentido es coger un palo y observar sus dimensiones para memorizarlas. Seguidamente lo introducimos casi verticalmente en el agua sin soltarlo. La parte del palo introducida, la observamos más corta, más ancha y inclinada hacia la superficie, como si estuviera más cerca de lo que está.

Este ejp. lo tenemos superado por lo habitual que es para nosotros. Pero hemos tenido para ello que deducir que la información que poseemos de la parte interior del agua no representa el estado verdadero del palo.

Es un ejp. de Relatividad General, pero debido a lo habitual y familiar que nos es, me ha parecido acertado exponerlo.

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Una manera gráfica de explicar esto podría ser mediante la geometría de Minkowski, pero, para expresar el estado de la llave tomando el Sistema Referencial Inercial del candado como marco y hacerlo de manera completa, tendré que añadir una segunda coordenada paralela a la coordenada “t”, que llamaré “t´”, existiendo el eje O con (t,x) y el eje O´ con (t´,x) . También tendremos que considerar el sentido a la hora de tomar una distancia en la dimensión de tiempo imaginario “x”, de manera que en el sentido de acercamiento al eje al que pertenece la medida , el valor es imaginario, o sea, el valor del cuadrado es negativo; y en el sentido de alejamiento, el valor es real, o sea, el valor del cuadrado es positivo.

He situado en la coordenada “t” el candado; pero para medir el tiempo propio de la llave en un tramo AB, y así compararlo con el del candado, he tomado un tramo de la llave entre los dos ejes O y O´, y así poder obtener la información complementaria del segundo eje. No sé si se ha representado alguna vez algo con esta modificación del espacio de Minkowski con doble “t”, pero he creído que no incurría en ningún error de lógica al formarla.

Pido perdón por no saber expresarme en latex, y por poner una gráfica del Paint, tampoco domino muy bien otros programas gráficos.

Entonces, describiendo el tiempo propio de la llave, que llamaré T, sería

dT^2 = (dT^2 de O + dT^2 de O´)/2
dT^2 = [(dt^2+[+(dx·i)^2])+(dt´^2+[-(dx´·i)^2])]/2
dT^2 = [(dt^2+[+(-1)(dx)^2])+(dt´^2+[-(-1)(dx´^2])]/2
dT^2 = [(dt^2-dx^2)+(dt´^2+dx´^2)]/2

Como “dx^2” es igual a “dx´^2”, ambos se anulan

dT^2 = [dt^2+dt´^2]/2

Como además, dt=dt´

dT^2 = [2(dt)^2]/2 = dt^2 =dt´^2
dT = dt = dt´

Lo que significa que AB, o sea, dT = dt. O lo que es lo mismo, que el tiempo propio de la llave para el Sistema Referencial del candado es igual de intenso al suyo, y por lógica, los valores intrínsecos de las dimensiones espaciales que definen a la llave, dan una resultante igual que en el caso de que la llave estuviese en reposo en el Sistema Referencial del candado, pero con la diferencia de no poseer cuotas fijas en el tiempo, representándose con una función continua de cuotas espaciales en el tiempo.

Pongamos un ejp simple:

Siendo A y B dos cuerpos en estado inercial que se alejan entre sí y ambos emiten luz con la misma frecuencia de emisión; cada pulso de luz se separa del siguiente en un tiempo dt desde cada emisor; siendo, la velocidad de alejamiento entre ambos dl/dt, siendo dl la distancia que se separan A y B en la unidad de tiempo dt. En el sistema de coordenadas espaciales dl^2=dx^2+dy^2+dz^2.

A observa que se aleja B, y B que se aleja A.

Las señales de luz del emisor, las recibe el observador con una frecuencia inferior a como son emitidas, debido al retardo acumulativo en el tiempo necesario para que la señal luminosa recorra dl.

O sea, que dl=dt·c, y para el cuerpo emisor dl=0, porque dl-dt·c=0 al igual que en el resto de RSI.

Pero resulta que en un ejp igual en todo menos en el sentido del desplazamiento relativo; o sea, que A y B se acercan entre sí en vez de alejarse, siendo dt y dl los mismos; tendremos que las señales de luz del emisor las recibe el observador con una frecuencia superior, en la misma cantidad que en el caso anterior era inferior, a como son emitidas, debido al adelanto acumulativo en el tiempo. Porque cada señal siguiente tiene dl espacio menos que recorrer.

O sea, que dl=-dt·c, y para el cuerpo emisor dl=0, porque dl+dt·c=0 al igual que en el resto de RSI.

Y sustituyendo… dl+dt·c=dl-dt·c

¿Qué tiene dt·c que tanto sumado como restado abarca el mismo dl para dar 0?

Lo que ocurre es que c es el proceso de transformación de la coordenada temporal imaginaria en espacial, o sea, de tiempo en un estado inercial, en espacio para otro SRI. Y el espacio tiene la peculiaridad en RE de que es simultaneo.

Para el cuerpo emisor, el espacio dl es 0 porque lo emite en sí mismo, y para cualquier otro SRI desde el que se observe, en parte, su coordenada temporal se desdoblará en espacio con doble sentido; o sea, para c, retardo y adelanto por igual, dando en su totalidad una media de dt=dt´ siendo dt´ un diferencial de la coordenada temporal del diferencial ds´ .

Pero no se desdobla en un espacio en un solo sentido. Esta es solo una interpretación incompleta por una observación incompleta al serlo desde una localización espacial puntual concreta en una orientación del emisor concreta. Muy distinto sería el caso de los estados acelerados de los cuerpos.

A ver, siendo un diferencial de espaciotiempo entre dos señales de luz contiguas (seguimos situados en los mismos ejemplo) de la frecuencia de emisión ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2 en un espacio tetra dimensional de Minkowski (x, y, z, w), en el que dw=dt·c·i.

Para cualquier otro SRI, el diferencial de sucesos de estos mismos sucesos sería ds´ , cumpliéndose que ds´=ds

sustituimos la suma de cuadrados… ds^2=dl^2+dw^2

y sustituimos dw… ds^2=dl^2+(dt·c·i)^2

y aquí es donde tenemos que tener mucho cuidado, porque ds representa al suceso desde un SRI cualquiera entre infinitos posibles (con infinitos dl posibles en sus dos posibles sentidos), y desde las infinitas orientaciones posibles. Esto refleja una esfera compleja de posibilidades agrupadas en un estado cuántico de probabilidades de la señal luminosa; ósea, de interacción electromagnética (en el caso de este ejp).

Esto nos dice que ds es complejo.

Para hacer una transformación completa de parte de dt en dl debemos tener en cuenta por igual los dos sentidos de dl para las dos posibilidades de interacción espacial con su entorno por parte del cuerpo emisor.

Volviendo al punto… ds^2=dl^2+(dt·c·i)^2

sería un error transformarlo en… ds^2=dl^2-(dt·c)^2 si ds es complejo;

siendo ds=([(ds+)^2+(ds-)^2]/2)^(½)

Siendo ds´+ el caso en que A y B se alejan, y ds´- el caso en que se acercan…

Entonces (ds´+)^2=dl^2-(dt·c)^2

Y (ds´-)^2=dl^2+(dt·c)^2

La transformación correcta por completa sería por lo tanto… ds^2=[(ds´+)^2+(ds´-)^2]/2

y sustituyendo… ds^2=[dl^2-(dt·c)^2+dl^2+(dt·c)^2]/2

Y ¿qué hay que hacer con esto’. Bueno, en principio nada. Solo saberlo y tenerlo en cuenta.

La naturaleza de ds es compleja, por lo que no se debe desdoblar al no ser que se pretenda definir una observación parcial. Pero es importante saber que esa observación es de ds´+ o ds´-; o sea, que no se refiere a cálculos con el tiempo propio del cuerpo emisor.

Esto, para el diagrama de tiempos propios de Minkowski, nos lleva a contar con ds completo, de manera que, la fósmula de tiempos propios en dicho diagrama, a que tener en cuenta por igual al observador de la línea de tiempo vertical t, como a la línea de tiempo también vertical , localizada en el lado opuesto de t respecto al objeto observado. O mejor interpretado, teniendo en cuenta el tiempo espacial dx imaginario (dx·i), ya que el diagrama es de tiempos y no hay posibilidad de sentidos en el tiempo.

Así que, de la fórmula incompleta T^2=dt^2-dx^2 y siendo T el tiempo propio a calcular del movil observado, pasamos a la fórmula correcta para tiempos propios, que sería

T^2=(T^2 del observador en t + T^2 del observador en t´)/2, dándose que al pertenecer al mismo SRI, t y tienen los mismos valores de tiempo propio

T^2=[(dt^2+dx^2)+(dt^2+dx^2·i^2)]2 = [dt^2+dx^2+dt^2-dx^2]/2

Que simplificando… T^2=(2·dt^2)/2=dt^2, quedando  T=dt.

Lo que nos dice que el cuerpo en estado inercial observado tiene la misma densidad de tiempo propio; aunque, al pertenecer a distinto SRI que los observadores, tiene la misma densidad de sucesos en el tiempo, pero con distinta distribución de sucesos simultáneos; o sea, de distinta simultaneidad espacial de sucesos.

Podemos continuar con el tratamiento de las propiedades físicas de las cualidades imaginario y complejo y el camino acia una Relatividad de estados cuánticos, o vinculación entre la Relatividad y la Cuántica.

Ya veremos. Todo se andará.

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