REVISIÓN DEL EJP. DE LA DIAGONAL DE GEORG CANTOR

Georg Cantor fue un brillante matemático que aportó, entre otras cosas, grandes avance en el conocimiento y manejo del infinito en las matemáticas. Muy hábil en el manejo de la lógica.

Un gran hallazgo de Cantor fue que el conjunto de todos los decimales y resto de reales (es decir, los racionales y los irracionales), constituyen un infinito mayor que el de los números naturales, y, en la misma medida, de las fracciones.

La esencia de la demostración de Cantor es que, si los decimales fueran solamente tan numerosos como los naturales, entonces sería posible contar o marcar a todos los decimales, uno por uno, con los números naturales, 1, 2, 3, 4, ….. El orden concreto no importa.

Cantor indicó cómo se puede construir otro decimal que no estará presente en ningún lugar de la columna formada por todos los números decimales, que a su vez se asocian, uno por uno, a los números naturales, también en su totalidad; contradiciendo así el supuesto de que se puede ir numerando todos los decimales uno por uno.

Vamos al ejp. de la diagonal de Cantor:

Formamos una columna con la lista de todos los números decimales. Lógicamente, estos son los que abarcan la totalidad de valores comprendidos entre el 0 y el 1, estos excluidos de la lista.

En cada fila de la columna solo ha de haber un número (el orden puede ser aleatorio) y lo podemos marcar o asociar con un número natural, no teniéndose que repetir en la columna ninguno de los dos números.

La columna estaría compuesta por infinitas filas de un numero natural asociado a un número decimal.

Ahora, empezando desde la primera fila, cogemos la primera cifra del número decimal para pasar a ser la primera cifra del número a extraer. De la fila siguiente, cogemos la segunda cifra para pasar a ser la segunda del número a extraer. De la siguiente, la tercera cifra para formar parte de número a extraer en su tercera cifra. Y así en un proceso infinito; pues estos números los expresamos con la totalidad de sus cifras, por muchos ceros que formen parte de ellos.

Con este método compondríamos un número el cual no podemos demostrar que no forma parte del conjunto formado por la columna, o sea de los números decimales asociados uno a uno a los naturales.

1- 0,8745666639……….

2- 0,1988835620……….

3- 0,0789360016……….

4- 0,5563987229……….

5- 0,9000243871……….

6- 0,3387627692……….

7- 0,9119471683……….

8- 0,8768000467……….

9- 0,7464836537……….

10- 0,2444385622……….

11- 0,0006498324……….

El número extraído es 0,8983221432………. Pero si bien, no podemos demostrar que este número no pertenece a la infinita columna de números decimales de infinitas cifras; sí que podemos modificarlo de tal manera que nos garanticemos que el número resultante de la modificación no coincida en cada cifra al número del que se ha extraído esta cifra.

Podemos utilizar un método simple, por ejemplo sumar una unidad a cada cifra del número extraído, excepto si es 9, que la cambiaremos por el 0, esto en toda su composición infinita de cifras. Resultando el número decimal 0,9094332543……….

Ahora sabemos que este nuevo número no es igual al primero de la columna porque la primera cifra del número no coincide con la primera de este. También podemos decir lo mismo del segundo número de la columna al asegurarnos de que la segunda cifra del número cambiado tampoco coincida con la segunda de este. Y así consecutivamente con todos los números de la columna. Números que son la totalidad de decimales que hemos relacionado con los naturales en un proceso infinito hasta cubrir su totalidad, su infinito.

Pero este nuevo número sigue siendo decimal y está fuera de los relacionados uno a uno con los naturales. Además podemos construir por este método infinitos números que no estén en esa lista. Y esto demostraría que el conjunto infinito de números decimales es mayor que el conjunto infinito de números naturales; por lo que no se pueden asociar uno a uno los naturales con los decimales de tal manera que la totalidad de los naturales abarquen la totalidad de los decimales. Lo que implica que existen dentro de la lógica, la posibilidad de infinitos mayores unos de otros.

La famosa diagonal de Cantor es un ejp. que se fundamenta en un proceso de sucesión de cambio del valor de las cifras, refiriéndose a cifras concretas finitas, localizaciones en el número concretas y todo ello en un desarrollo infinito del proceso.

En este método, Cantor, no tiene en cuenta la naturaleza algebraica del sistema numérico del que se sirve; y que, sin embargo, es fundamental para aplicar correctamente el ejp.

La composición algebraica que utiliza es 0*10^0 + a*10*(-1) + b*10^(-2) + c*10^(-3) + d*10^(-4) + …….. en un desarrollo infinito, expresándolo 0,abcd…….

Posteriormente forma una columna con un solo número decimal de infinitas cifras en cada fila de la columna. Y no es consciente de que las propiedades algebraicas de estos números hacen que la forma de dicha columna, es en su totalidad de infinita longitud vertical respecto a su longitud horizontal.

Me explico. Siguiendo el mismo procedimiento de expresar cifras concretas y localizaciones concretas de estas que utilizó Cantor, tenemos, que el sistema algebraico utilizado, conforme ampliamos una cifra en la precisión de los números a tomar en la columna, debido a que tenemos 10 valores de cifra posibles en la composición de ese número 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, aumentaríamos en la composición de números de la columna en cada número concretado, por ejp. 0,345……. nueve números concretos más a lo vertical, que serían

0,345– 0,3450

0,3451 -1

0,3452 -2

0,3453 -3

0,3454 -4

0,3455 -5

0,3456 -6

0,3457 -7

0,3458 -8

0,3459 -9

mientra que solamente se a aumentado la concreción horizontalmente en una cifra.

La cuestión es que esos nueve números concretados de más, forman parte de los relacionados con los naturales uno a uno, mientras que para utilizar en la diagonal, Cantor solo puede hacerlo con uno, ya que utiliza la relación una cifra siguiente de una fila de la columna siguiente. Un paso en horizontal con uno en vertical, y asume erróneamente que esta con este método cubriendo todos los números relacionados con los naturales.

Pero no es cierto, ya que las nueve variaciones restante son tan concretas y asociables a los naturales como la tomada en el ejemplo, de hecho son en concreto 9 más, asociables a los números naturales n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7, n+8, n+9.

El desarrollo del método de concreción de la columna de todos los números decimales hace que estos crezcan en su cantidad exponencialmente con base diez, en este caso y debido a utilizar el sistema numérico decimal; mientras que los números a poder utilizar, erróneamente, como el total de los decimales que componen la columna con el método de la diagonal, es lineal, lo que hace que en el desarrollo infinito del proceso de concreción de los valores numéricos de la columna, la cantidad a poder utilizar con el método de Cantor sea infinitésima respecto a la totalidad de números que la componen. Muy importante es decir que en el proceso de concreción de los números que la componen, en todo momento podemos asociarlos a números naturales.

De una manera visual, aunque no formal pero sí ilustrativa podríamos imaginarnos esa columna como un hilo que baja sin fin alguno hacia el infinito, pero que si lo pudiéramos abarcar en su longitud total, lo percibiríamos con una anchura infinitesimal, en lo que un corte a 45º abarcaría una longitud del hilo también infinitesimal respecto a la totalidad de su longitud. Mientras que Cantor creía poder cortar el hilo a 45º de tal manera que abarcase el corte la totalidad de su longitud, y después demostrar que puede crear tramos longitudinales ya existentes pero ocultos en la asociación de esta longitud con la de un hilo similar compuesto por la columna de números naturales.

Pero si tenemos en cuenta que su corte solo puede ser de longitud infinitesimal comparativamente, quedarían infinitos números decimales asociados a números naturales que no pertenecen al corte; y que al modificar el número extraído, no podríamos demostrar con ello que éste no pertenece a la columna, al hilo. Solo no pertenece al tramo del corte utilizado, al tramo de la columna utilizado para tomar el número mediante la diagonal.

Para demostrar el error de composición del ejp. de Cantor, podemos además plantearnos la composición algebraica completa (…… + d+10^3 + c*10^2 + b*10^1 + a*10^0) de los números naturales y formar con ellos una columna, colocándolos aleatoriamente si se quiere. Y posteriormente utilizar el mismo método de la diagonal pero aplicando a los naturales la diagonal y comprobando que podemos crear un nº natural que no pertenece a la diagonal y que según el criterio de Cantor , por lo tanto, tampoco pertenecerían a la biyección uno a uno, demostrando que el conjunto de los nº naturales es mayor que el de los nº decimales

……….845036 –0,254683….

……….000436 -o,089624….

……….635092 -0,564739….

……….000004 -0,463899….

……….312857 -o,788832….

……….750925 -0,781123….

y extraer las cifras para formar el número …….710036, el cual alteramos sumando una unidad a cada cifra, para asegurarnos de que no está en la columna que compone el total de números naturales, mientra que, precisamente, hemos relacionado, uno a uno, toda la columna con los decimales, aunque igualmente lo podemos hacer en una biyección con sí mismos, con los números naturales expresados de manera reducida y práctica.

¿Qué está pasando?, ¿por qué es al conjunto al que se le aplica la diagonal a el que se le pueden añadir más elementos?.

¿Cómo puede ser lógico que no estén comprendidos en sí mismos cuando asociamos elementos uno a uno de dos conjuntos “iguales”? Está fallando algo fundamental, ¿no?.

Veamos a los naturales ahora con un ejemplo que los relacione uno a uno con su igual en la expresión simplificada y práctica

……….000001 -1

……….000002 -2

……….000003 -3

……….000004 -4

…………………. -..

O de manera aleatoria

……….003475 -3475

……….329996 -329996

……….000421 -421

……….009300 -930

……….000007 -7

…………………. -……

Si interpretamos el método de la diagonal correctamente podemos entender que no nos vale para demostrar diferencia alguna entre valores totales de los conjuntos de los infinitos números decimales y naturales, por ejp., al no demostrar que se pueda crear un número decimal que no pertenezca a los ya relacionados uno a uno con los naturales.

Para hacerlo más fácil pondré una composición de la columna ordenada en vez de aleatoria, y cada fila esta compuesta por un subconjunto del conjunto de números decimales, que comprende a todos los números decimales que contienen esas cifras concretas en ese orden concreto

0,00… -1

0,01… -2

0,02… -3

0,03… -4

0,04… -5

0,05… -6

………. -..

0,12… -13

0,13… -14

………. -….

extrayendo las cifras formamos el subconjunto de números decimales que contienen las dos primeras cifras con los valores 0,01……, y modificando las cifras concretadas aumentando, por ejp. una unidad cada cifra, excepto con el 9 que lo sustituiríamos por el 0, nos da el subconjunto de números decimales formados por sus dos primeras cifras con los valores concretos 0,12……. Pero en realidad, no hemos creado ningún conjunto de números decimales que no está en la columna de conjuntos relacionados uno a uno por los números naturales; puesto que el subconjunto resultante vemos que está asociado al número natural 13, dentro de un total de 10^2 subconjuntos, de los que solo hemos utilizado, en realidad para la diagonal el exponente, 2.

Y este proceso de precisión lo debemos desarrollar infinitamente en el intento de abarcar las infinitas cifras de las que se componen los números decimales. Formando subconjuntos cada vez más concretos cuantitativamente, pero aún así infinitos en número de elementos.

Este proceso evoluciona hacia la concreción de esta manera

 

Subconjuntos que componen      Subconjuntos utilizados

la columna asociada a los                  para  la diagonal

naturales

10^1                                                                              1

10^2                                                                              2

10^3                                                                              3

………                                                                             ..

10^738                                                                      738

…………                                                                      ……

 

Ni que decir tiene que con una concreción de cifras desorbitada, la diferencia entre los subconjuntos que componen la totalidad de la columna y los que se utilizan en el método de la diagonal como la supuesta totalidad de la columna, es inmensa.

Concluyendo. El ejp. de la diagonal de Cantor solo incluye en dicha diagonal una parte infinitésima del total de la columna a formar por la totalidad de números decimales asociables uno a uno a los naturales (por ejp.), con lo que, el poder formar un número decimal que no se encuentre entre los utilizados para la diagonal mediante este método, no demuestra que no esté entre el total de los números asociados a los naturales que componen dicha columna. Esto lo invalida para poder demostrar que esta relación biyectiva es cierta, ni para reducir el ejp. al absurdo por autoinvalidarse dicha relación biyectiva.

 

Nota, no he hecho en esta exposición ningún comentario respecto al hecho de pretender asumir el infinito como un valor cuantitativo posible dentro de la lógica; ni, por lo tanto, tampoco he entrado en cuestionar si es posible asumir lógicamente conjuntos infinitos en cantidad pero de distinto tamaño o cantidad infinita, infinitos mayores que otros.

No lo he hecho porque no considero el concepto infinito asumible lógicamente como una propiedad cuantitativa, sino cualitativa. Lo considero como una condición de cualquier proceso de naturaleza continua. Un ejp. claro son los fractales.

Pero, además la única pretensión de este escrito es razonar y demostrar con la lógica que Georg Cantor aplicó erróneamente el ejp. de la diagonal, interpretando con ello conclusiones erróneas en la relación en este ejp. entre los distintos conjuntos de números de infinitos elementos. Sin entrar a pretender concretar característica alguna de dichos conjuntos en base a la rectificación de dicho ejemplo. Simplemente lo invalida para demostración alguna de este tipo.

Esto no quita que mi opinión personal respecto a la existencia de infinitos superiores a otros sea que sí, y en el caso concreto de los números R respecto a los N considero que el conjunto de los R contiene infinitos subconjuntos asociables cada uno a la totalidad del conjunto de números N.

Otra cosa es referirnos al cardinal de cada uno de esos conjuntos y subconjuntos, que es harina de otro costado.

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