X Carnaval de Matemáticas-“Propuesta de nueva signación y composición de Conjuntos de Números y su transcendencia en el Teorema de Pitágoras”

Espero que perdonéis mi atrevimiento al pretender una propuesta de Clasificación de Conjuntos de Números para su aplicación matemática, diferente de la relación existente y aceptada por la comunidad científica, y en general, aplicada en nuestro lenguaje matemático con normalidad e indiferencia.

El como llegué a plantearme esta reestructuración, fue simplemente por falta de herramientas a la hora de interpretar matemáticamente lo que razonaba como lógico y coherente en el entendimiento físico. Sobre todo en cuanto a geometría.

Me vi en la necesidad e distinguir entre números neutros o espaciales y en general autosimétricos y números activos o autoasimétricos (todos los clasificados desde los Reales, excluyendo por lo tanto a los Imaginarios). Me vi en la necesidad, al tener que interpretar un espaciotiempo tetradimensional relativista, y entrar en la coherencia de una geometría de Diagramas de Minkowski en los que aplicar una trigonometría clásica de igualdad triangular, en vez de la hasta ahora aplicada desigualdad triangular.

Pero los detalles de esto se desvían del tema de la propuesta que pretendo exponer en este modesto artículo tomado mas bien como un ensayo.

Solo una advertencia de mi personalidad, no me tiembla el pulso ni un poquito, a la hora de cuestionar y sustituir axiomas si estos dejan de ser lógicos para mí desde un análisis (en este caso) metamatemático.

Es lo que me pasó hace muchos años, cuando me enseñaron por primera vez los números imaginarios y su procedencia de raíz cuadrada de un número negativo.

Desde entonces caí en lo que para mi criterio era una contradicción. Que mientras para la raíz cuadrada de un número positivo, debemos considerar la posibilidad de dos resultados, en principio y sin más condicionantes, igual de válidos {(+a)^(1/2)=+b igual de válido que (+a)^(1/2)=-b}, sin embargo, para la raíz cuadrada de un número negativo, nos permitimos (qué remedio) un único resultado válido al que llamar imaginario (que en mi opinión sería más correcto llamar inimaginable).

Si asumimos como correcto el diseño de un número que no seamos capaces de idealizar, imaginar directamente, para este caso de los nº I; ¿por qué no hacerlo también para el caso de un único resultado válido para la raíz cuadrada de un número positivo?. Podríamos llamarles números neutros, por ejemplo; ya que sería un número tan positivo como negativo (aunque me he decidido finalmente por el término que considero mas descriptivo para los números resultantes de toda raíz cuadrada, “autosimétrico”).

Pero todo esto se quedó en el olvido hasta que, en mi empeño de entender mejor los fundamentos que llevan a la desigualdad triangular de los lados a,b,y c, siendo a el cateto mayor, b el cateto menor, y c la hipotenusa, tal que a^2-b^2=c^2 y los que llevan a la clásica relación trigonométrica, tal que a^2+b^2=c^2.

Y fue al profundizar en estas cosas cuando me di cuenta de que la “raíz” afectaba tanto a los números negativos como a los positivos en esta condición de autosimetría, dándose resultados de números reales e imaginarios, ambos con la condición de tan positivos como negativos. Con la propiedad de autosimétricos; tan autosimétricos como el 0.

Otra opción era no considerar a la raíz un proceso u operador fundamental, si no una manera singular (factores iguales) de factorizar dentro de un proceso de factorización abierto a todas sus posibilidades coherentes para resultados pertenecientes al conjunto R.

Así podemos decir que (-a)^(1/2)=+b·(-b) y (-a)^(1/2)=-b·(+b), siendo estas, dos de sus posibles factorizaciones; al igual que (+a)^(1/2)=+b·(+b) y (+a)^(1/2)=-b·(-b) son también dos de sus posibles factorizaciones; pero solo en el segundo ejemplo de dan los requisitos necesarios para aplicar la factorización restringida que sería la “raíz”, al no poder factorizarse el primer ejemplo en factores iguales.

Pero hay una diferencia fundamental entre el operador “raíz” y el operador “factorización”. La raíz es un proceso que transforma, cambia el valor total (podría cuestionarse que excepto para casos exclusivos como (+1) y 0, pero no me interesa por ahora entrar en este detalle), mientras que la factorización tiene como condición obligada a cumplir, que el producto de la relación de números resultante de cada posible factorización, dé exactamente el número o valor a operar.

Como no me gusta ponerme límites en la metamatemática excepto los propios de cualquier deducción que me lleve a que una conclusión es ilógica con respecto a sus propios fundamentos como conclusión, admito que la “raíz” es una propuesta de operador matemático de lógica firme mientras no encuentre razones y fundamentos que me demuestren lo contrario; y en principio y por ahora, tomo esta conclusión como un axioma.

Pero, a la vez, tenemos que i^2=i·i=(-1)=(+1)·(-1), luego i·i=(+1)·(-1). Esta no es una simple descripción de dos factorizaciones distintas en cuanto a valor cuantitativo para en valor (-1). De hecho, cuantitativamente, la factorización que hacemos es nula. Pero queda claro que existe distinción cualitativa entre estos factores a comparar. Existe la factorización de la signación, y no solo para factores de distinta relación de factorización de un mismo número, también entre factores de igual valor cuantitativo de una misma factorización; de manera que podemos decir que, mientras para un caso, sus factores son simétricos mutuamente (+1)<->(-1), también tomo como axioma, incluso como parte del anterior axioma admitido, que si bien toda raíz cuadrad da un único número en valor cuantitativo, éste es en sí mismo y respecto a su valor cualitativo de signación, autosimétrico, distinguiéndose en él partes diferenciadas cualitativamente a la hora de operar. Estas partes pueden ser entre sí simétricas u ortogonales.

¿Es lógico o contrario a su propia lógica de verdad-falsedad el admitir las dos interpretaciones como una misma cosa pero mas rica en matices e información de los números?, ¿estos números con cualidades de autosimetría son de lógica aplicación a la coherencia de la realidad, o nos llevan a interpretaciones absurdas de nuestra realidad, interpretaciones que no corresponden con la experimentación?.

Yo pienso que su lógica existencia es consistente a sí misma, y que con esto bastaría, pero además creo que se da el caso de que lo es escrupulosamente para su aplicación. Incluso da un sentido abstracto de la ortogonalidad menos dependiente de su interpretación espacial de perpendicularidad.

Entro a reordenar y clasificar los Conjuntos de Números.

Complejos—AutoAsimétricos (A)—A Reales (AR)—…

—AutoSimétricos (S)—S Reales (SR)—…

—S Imaginarios o AutoOrtogonales (SI)—…

Siendo un número A cualquier número con signación clásica + o -.

Siendo un número SR cualquier número con el signo (provisionalmente y por buscar algo claramente distinguible) #.

Y siendo un número SI cualquier número con el signo i.

Podríamos decir que todos los números poseen su valor cuantitativo intrínseco |a| y su valor cualitativo como operador +, -, #, i siendo + y operadores que imponen la propiedad de autoasimetría y # y i operador que impone la propiedad de autosimetría.

El conjunto de nº S tiene dos subconjuntos:

SR para el que la autosimetría de todos y cada uno de sus elementos es simultanea para todo proceso u operación. Para algunas y solo para algunas aplicaciones podrían llamarse nº espaciales.

SI para el que la autosimetría de todos y cada uno de sus elementos es no simultanea para todo proceso u operación. Para algunas y solo para algunas aplicaciones podrían llamarse nº temporales o vectoriales.

Para definir mejor las propiedades de los nº SR debemos descomponer el signo # de autosimetría en sus dos sentidos diferenciados de operar en un proceso dado, por ejemplo y provisionalmente ¿, ?.

Lo mismo para el caso de los números SI, con, por ejemplo los dos sentidos \, /.

Para entender mejor esto vamos a suponer que el signo # esta compuesto por una mitad indivisa del signo + y una mitad indivisa del signo , pero que no conmutan ni se mezclan; de tal manera que en el signo ¿, el reparto o localización de estas mitades es simétrico al reparto del signo ?; esto respecto a su operatividad.

Dándose que

?·?=+

¿·¿=+

¿=+/¿

¿·?=?·¿=-

¿=-/?

¿·+=(+/¿)·+=(+/¿)=(-/?)·+=(-/?)=¿

¿·-=(+/¿)·-=(-/¿)=(-/?)·-=(+/?)=?

La misma relación tendríamos para los signos \ y /, respecto a los signos autoasimétricos + y .

Pero además de la relación de simetría entre las distintas autosimetrías, tenemos la relación de ortogonalidad entre las distintas autosimetría; para lo que he optado por describir el operador de signación de los números con una relación especifica entre paréntesis que muestra de manera gráfica la relación entre sus componentes, y descartando una distinción menos precisa de solo simetrías caracterizadas por ¿,?; aunque en el caso de los SI al ser de por sí autoortogonales, sería suficiente con los caracteres \ y / en su aplicación \i, /i.

Inclinándome entonces por el tipo de signación que paso a detallar

Son operaciones conmutativas.

Detallando todas las variables posibles tenemos

Pero para visualizar mejor las propiedades de relación entre todos los signos es de gran ayuda la composición de planos complejos para tales fines.

Ya conocemos el plano complejo clásico de coordenadas r de los nº Reales, teniendo desde el punto O en un sentido los +r y en el opuesto los -r; e i de los números Imaginarios, teniendo desde el punto O en un sentido los +i y en el opuesto los -i.

Y teniendo en cuenta que el operador que compone dicho espacio de relación entre coordenadas es en un sentido de giro (+i)/(pi/2), y en el opuesto (-i)/(pi/2). Esto quiere decir que cada 90º hay una influencia de i en los valoras de composición de dicho espacio; a lo que voy a llamar operador de dicho espacio, en los demás espacios de planos complejos a tratar.

Pero hay que tener en cuenta y es importante el hecho de que estos operadores son autosimétricos, y que en el clásico plano complejo, el operador es (-i)=(-1)^(1/2), y para que un número del conjunto SI dé un producto (-r), es necesario que opere con su simétrico, creándose así un plano con simetría entre sus cuartos, lo que da al punto O una identidad singular en el plano, entre otros detalles (también el operador no distingue sentido como tal, lo que da características espaciales al plano). Pero mejor será mostrar gráficamente los planos para visualizar mejor sus propiedades.

1- Plano complejo clásico de coordenadas (r,i) y operador i.

2- Plano complejo mixto de coordenadas (r,#) y operador #. Mixto R. La otra opción es con operador # ortogonal.

3- Plano complejo mixto en autosimetría de coordenadas # ortogonales entre ordenada y abscisa y operador i. Ortogonal SR

4- Plano complejo mixto en autosimetría de coordenadas i (\i,/i) y operador #. Mixto Simétrico S. está también otra opción con operador # ortogonal.

Hay mas combinaciones posibles, pero creo que con estas será suficiente para que os familiaricéis con este tipo de planos de interacción entre este tipo de valores de signación de los números.

Hay que tener en cuenta que la decisión de considerar un elemento de la signación autosimétrica como + o como es irrelevante, si bien, una vez tomada la decisión para un proceso dado, deberá respetarse en todo el proceso.

Es especialmente transcendente la propiedad de que si dos números autosimétricos ortogonales entre sí operan dan un autosimétrico-autoortogonal, o sea, i.

La relación entre estos tres números autosimétricos es

de manera que cada uno es el operador que relaciona a los otros dos; cumpliéndose la propiedad de que (+a)^(1/2) sea ortogonal a (+b)^(1/2), y (+c)^(1/2) sea autoortogonal y no ortogonal a ninguno de los otros dos números autosimétricos.

Esto implica y deriva en nuestra interpretación intuitiva espacial, que para el cumplimiento de que el cateto (+a)^(1/2) sea perpendicular al cateto (+b)^(1/2) de un triángulo rectángulo, debe cumplirse la relación de sus cuadrados autoasimétricos (+a)(+b)=(+c), siendo (+c)^(1/2) la hipotenusa del rectángulo.

Existen distintos tipos de relaciones o triangulaciones, dentro de todas las variables posibles, además de la ya mencionada y de la que me he servido para dar un sentido mas analítico en vez de intuitivo a las propiedades de ortogonalidad del teorema de Pitágoras. Luego está la influencia de los valores cuantitativos de los números S, que si bien modifican la relación entre los lados del rectángulo, no modifica su relación de ortogonalidad; fundamental para que se cumpla para sus cuadrados de números A que a+b=c.

Otro aspecto importante de todo esto es la singularidad de O, pues cada plano lo es desde cada O. No hay otra referencia para cada plano. Cada plano es la particularidad de cada O particular, lo que hace a cada O una referencia particular.

En este marco, son fundamentales las “referencias”, y es fundamental tener en cuenta que un resultado objetivo no es el que se obtenga desde las mediciones o datos de una referencia, siendo necesarias sus simétricas y de los niveles de simetría necesarios.

Este espacio común que experimentamos como “sensación de espacio” es solo fruto de nuestra composición cerebral capaz de dar una interpretación directa formando una estructura global de multitud de datos obtenidos desde distintas referencias. Digamos que nuestro cerebro diseña un espacio plano, sin O. Pero, ¿existe de verdad o independientemente a nuestra interpretación intuitiva ese espacio neutro?, o ¿solo existe una composición de vectores de interacción entre determinadas referencias con sus propios y exclusivos “espacios de interacción”.

No he tratado en este “borrador” las propiedades aditivas de estos números con signación de autosimetría, ya que esto implica profundizar respecto al concepto de “referencia” y su implicación en estos números como operadores. De hecho, un aspecto importante es tener en cuenta que la adición implica que cada elemento u operador tenga identidad particular y exclusiva. Esto nos lleva a la descomposición de cada número autosimétrico operador en dos autoasimétricos simétricos entre sí.

Tal es el caso en el ejemplo del diferencial del cuadrivector ds en Relatividad Especial, para el que desde cada Sistema Referencial Inercial, todo punto de medición u observación en el espaciotiempo, para cada objeto a observar, existe su punto espaciotemporal simétrico a dicha observación, y si bien no implica para los calculos observados desde cada punto, en los que se a de tener en cuenta gamma de Lorentz; sin embargo, es fundamental en mi opinión compensar estas medidas con sus simétricas desde el mismo Sistema Referencial Inercial, para calcular tiempos y espacios propios del estado inercial del cuerpo a observar.

Por ahora, solo me he limitado a desarrollar la parte más implicada en el Teorema de Pitágoras.
También se deduce de esto que este método se pueda aplicar a raíces de cualquier rango, así como a composición de espacios de signación de cualquier dimensionalidad.

Yo creo que estos nuevos elementos matemáticos (desde luego dentro de una formalización y con las muchas rectificaciones necesarias más allá de este mero ensayo) nos pueden ayudar para llegar a

una comprensión mejor de ideas como el espacio-tiempo, teniendo en cuenta la simetría desde distintas referencias de medición (observación), así como un mismo marco de fundamentos comunes para la física Clásica y la Cuántica.

Pero igual es que estoy alucinando en colores, lo que tampoco estaría mal, ¡que coño!.

Es muy probable que todo esto os parezca disparatado. Comprendo que la informalidad con la que está escrito no ayuda mucho a mi pretensión de que os motive algún interés. Pero espero que al menos os haya aportado una perspectiva distinta, que en mayor o menor medida, siempre ayudan a enriquecer nuestra manera de entender las cosas.

Nota- esto se puede considerar como un ensayo literalmente hablando, pues es la primera vez que me molesto en sacarlo fuera de mi cabezota; lo que implica desorden, lenguaje particular de conceptos, detalles olvidados, imprecisión en ciertas cuestiones concretas y la muy posible circunstancia de que si lo leo dentro de unos días, me tendría que sujetar para no cambiar expresiones, matices, interpretaciones, estructura de planteamiento, etc…, como para cualquier cosa que voy poniendo sobre la marcha.

Con esta entrada participo en la X edición del Carnaval de matemáticas cuyo anfitrión es en esta ocasión Francis (th)E-mule

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Una respuesta a X Carnaval de Matemáticas-“Propuesta de nueva signación y composición de Conjuntos de Números y su transcendencia en el Teorema de Pitágoras”

  1. E.M.S.Q. dijo:

    Genial!
    “nos pueden ayudar para llegar a

    una comprensión mejor de ideas como el espacio-tiempo, teniendo en cuenta la simetría desde distintas referencias de medición (observación), así como un mismo marco de fundamentos comunes para la física Clásica y la Cuántica.” <— Quid!

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