Entendiendo la Geometría Compleja

Debido a repetidas conversaciones y cambios de impresión con distintas personas profesionales en matemáticas y física, he podido comprobar como no mostraban (o al menos esa era mi interpretación) entender en profundidad la geometría compleja; si bien, por otro lado, dominaban sobradamente en muchos casos su manejo y aplicaciones (desde luego, mucho mejor que yo).

No se si esto es culpa del sistema de enseñanza o simplemente el entendimiento de la geometría compleja es un asunto que está tan en pañales como para que se dé esta circunstancia.

De cualquier manera, y como hago con todo lo que me propongo abordar y nunca acabar de esta afición mia, me animo a tomarme un tiempo para intentar explicar de la manera en que soy capaz de hacerlo, el significado y transcendencia de la dimensionalidad de los espacios, o mejor dicho, marcos complejos.

Tenemos un marco de naturaleza espacial D:3. En él podemos representar una recta concreta a. Ni siquiera necesitamos formatear este espacio para, mentalmente, situar esta recta en dicho espacio. De hecho, el determinar unas coordenadas de referencia con su respectiva métrica es algo artificial que ponemos con propósitos prácticos para manejarnos mejor con las herramientas matemáticas en ese espacio.

Si tomamos un punto concreto de esa recta Real y formamos una recta perpendicular b, Descubrimos que tenemos infinitas orientaciones posibles para ese propósito dentro del marco en el que hemos concretado la recta inicial. Y en consecuencia, tenemos infinitos posibles planos reales a formar con ambas rectas, dependiendo de la orientación de b, y dandose la propiedad de que a estaría en todos los infinitos planos posibles.

También podemos entender que entre todos estos infinitos planos podemos abarcar todo el espacio D:3 del que forman parte. Podemos interpretarlos, entenderlos como simultaneos reales en dicho “marco” geométrico.

Pero ahora cambiemos de marco para situarnos en un espacio Real D:1. No sería correcto ni siquiera referirse a la recta a, pues todo el marco en sí es la única recta posible y los únicos grados de libertad estan en los dos sentidos opuestos entre sí de dicha recta. No existe la posibilidad de la idea o concepto de “perpendicularidad”.

Pero con este marco unidimensional real podemos componer un marco D:n superior inimaginable, un parco complejo.

Para ello tenemos que asumir como lógico el que puedan existir marcos de dimensionalidad superior a la asumible por nuestra capacidad de interpretación directa en cada caso. Es decir, que si asumimos que nos encontramos en un marco de análisis real D:n, aceptamos también la posibilidad de que este marco pueda formar parte de la estructura de infinitos marcos D:(n+x), siendo x cualquier nº N y formando un conjunto de posibilidades expresado con la función de x para (n+x) dimensiones.

Pero nos vamos a centrar en la opción más simple, en la que, siendo n=1 y real, y x=1 e inimaginable (imaginario i), componemos un espacio unidimensional D:1 formando parte de un marco inimaginable D:(1+i)… el habitual plano complejo.

Se nos enseña y estamos acostumbrados a interpretar este espacio complejo en gráficos con dos coordenadas; una representando a la dimensión real y la otra a la imaginaria. Y partiendo de aquí se definen las propiedades vectoriales y de todo tipo de operatividad de este marco.

Pero debemos tener en cuenta que su representación gráfica es incorrecta como tal. Es la representación de un plano real, no complejo. La coordenada imaginaria (inimaginable) pasa a ser real y por lo tanto imaginable, al concretarla en una de sus infinitas posibilidades de “ortogonalidad”, pasando a ser una de ellas la elegida como “perpendicular”.

Un verdadero marco del plano complejo consta de una única coordenada representable gráficamente, la real y una coordenada inimaginable, por carecer de orientación perpendicular posible al espacio real representado; pero que se asume como una coordenada ortogonal a dicho espacio real con las obligadas características de indefinible gráficamente, de estar fuera del marco gráfico.

Desde un marco D:3, anteriormente ya hemos representado una recta real a y hemos podido darnos cuenta de que existen infinitas posibilidades de representar una recta real perpendicular b. De esta manera podemos entender la incertidumbre de una coordenada o recta imaginaria b=i para un marco real D:1, en el que la perpendicular a su única dimensión no se contempla.

En general, deberíamos considerar a la ortogonalidad de cualquier espacio D:n como imaginaria para un marco superior. Pero además debemos tener en cuenta que este marco superior complejo e inimaginable espacialmente, no corresponde a un marco real superior D:(n+1), si no a infinitos posibles D:(n+1); o sea, a un marco complejo D:(n+i).

Y de aquí podemos precisar mejor esta incertidumbre con un plano ortogonal en el que n sea el eje de coordenadas (el punto O), y en el que definir si se tiene la información suficiente, la densidad de probabilidad para cada posible orientación de la recta o coordenada ortogonal i como recta real b.

Este plano sería probabilístico, y como plano en sí sería solo un artificio. La realidad es i como coordenada inimaginable.

Así pues, para entender lo naturales y lógicas que son estas propiedades, debemos entender la verdadera naturaleza de los espacios complejos y así encontrar completamente lógico que la naturaleza tenga que representarse con propiedades matemáticas en marcos y con números complejos.

Al igual que tenemos que admitir la ortogonalidad como opción intermedia entre dos sentidos opuesto; incluido su significado abstracto, sobretodo referido a las signaciones opuestas + – (esto lo trato en este artículo del blog).

Démosle ahora una interpretación física a todo esto. Liberémonos del espacio tal como lo construimos en nuestra consciencia; el espacio que percibimos como sensación de distancias.

Supongamos una partícula que compone una geometría de interacciones con su entorno. Estas propiedades de interacción o geometría las podemos considerar de naturaleza real y asumirla como su espacio, o mejor dicho, su estado real.

Supongamos que existe un marco superior a su estado en el que se encuentran todas las partículas con sus respectivos estados que interaccionan con esas propiedades geométricas, definiéndose las interacciones de cada una en sus respectivos estados actuales. Y digo actuales, porque esos estados son presentes de interacción, de influencia.

El mencionado marco superior contendría a cada estado de cada partícula como un espacio intermedio entre el marco común o superior y un marco de una dimensionalidad inferior, esto con una determinada densidad real de la dimensión diferenciadora entre ambos marcos (una en principio, pues sería mucho más complicado referirse a más de una, aunque sea igual de válido), esta sería i desde el marco de la dimensionalidad inferior como real.

Así pues, cuanta más densidad de dicha dimensión i compone el estado de la partícula en un presente dado, más masa tiene la partícula, más denso es su espacio probabilístico y mas certidumbre alberga.

Dando un paso más, supongamos que dicho estado, con su densidad de certeza respecto a la dimensión que completa el marco en el que interacciona, o sea, densidad de certeza respecto a la dimensión ortogonal a su propio marco real del estado (dimensión i), supongamos que se desplaza dicho estado ortogonalmente a sí mismo, habiendo un continuo cambio de lo qué deja de ser incierto para pasar a ser real y lo que pasa de ser real a ser imaginario y parte de lo incierto para otro estado.

En esto consistiría el tiempo propio de dicha partícula. Más lento cuanto más masa posea la partícula, cuanto más denso en interacciones sea su estado, cuanto más concentrada sea la métrica de las dimensiones espaciales respecto a la métrica de la dimensión ortogonal imaginaria. ¿No os recuerda esto a la geometría relativista?.

Tomando como marco común de todas las partículas que interaccionan en ese mismo marco, al plano complejo, tendríamos que para una partícula dada, la dimensión real representa su estado de interacción, y existiría una densidad de interacción ortogonal a la dimensión real que podríamos interpretarla como “espesor” de dicha dimensión real en el plano complejo. Pero sin olvidar que no hay nada perpendicular que interpretar más allá de ese espesor, pues es incierto e inimaginable.

En este plano complejo de infinitos planos reales, cada partícula con su “espesor” de su dimensión real, compone en el transcurrir del tiempo (dinámica ortogonal al marco real de su estado) un plano real concreto único de interacciones. Y el marco común complejo con el que se definen las propiedades de interacción entre todas las partículas, alberga a todos los planos reales en composición de todos los estados con sus respectivas únicas y particulares orientaciones. Dicho marco es un procedimiento de composición o sucesión de las interacciones con unas propiedades complejas definidas en las propiedades de su geometría dinámica de continua construcción.

Esto lo debemos trasladar al marco D:n dimensional correspondiente para la representación correcta de las propiedades del estado de las partículas. No tiene por qué ser D:(3+1). Es la información y medición que obtenemos de los experimentos la que tiene que compatibilizarse con el marco a elegir como el más correcto.

Cada partícula tiene su propio estado con su propio espacio-tiempo, pero hay un marco superior de naturaleza compleja que podríamos considerar como estado común para todas las partículas que interaccionan dentro de dicho marco; además de poderse descomponer el estado de una partícula en diferenciados subestados de rango dimensional menor con sus respectivos marcos de naturaleza real para sus subpartículas.

Esto no hay que confundirlo con el ejemplo de identificar como elementos componentes de una máquina de coser a cada pieza de esa máquina con su función concreta para que la máquina funcione de una manera determinada pretendida.

No se trata de entender que el estado superior es la suma de los estados que lo componen, porque el estado superior contiene también la incertidumbre dimensional que vincula a sus subestados en esa geometria compleja común, formando una dinámica temporal única común sin la posibilidad de definir un estado espaciotemporal concreto de dimensionalidad inferior. Como tal partícula con su respectivo estado, lo es en la medida en la que no se puede definir con certeza parte alguna diferenciada como subestado; para pretender definir subestado alguno nos saldríamos de este estado común para pasar este a ser el marco complejo de interacción entre el subestado a definir y los demás subestados, definiéndose este subestado como ahora estado de una partícula real definida (subpartícula de la partícula inicial).

Bueno… podría alargarme mucho más con este rollo, pero creo que ya está siendo sobradamente pesado.

Hay toda una linea de interpretación geométrica y abstracta de la ortogonalidad más allá de las dimensiones reales y su propiedad de perpendicularidad, que marca la diferencia entre una geometría real y una geometría compleja; siendo esta, sin duda, mucho más rica y completa en propiedades y posibilidades para entender mejor la naturaleza así como la propia lógica. Y, sin duda por mi parte, el camino unificador entre la física relativista y la física cuántica.

Espero que este escrito denso e indigesto le haya serbido (al menos al lector capaz de aguantarlo hasta el final) para interpretar mejor la geometría compleja y algunas de sus implicaciones en la interpretación física de la naturaleza.

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2 respuestas a Entendiendo la Geometría Compleja

  1. Lo prometido es deuda, aunque no sea mi estilo: aquí dejo una familia de motores que podrían servir para crear notaciones algebraicas compatibles con la física… Problema: aún no le he visto uso práctico.
    http://www.archive.org/details/EsbozoSobreLaCreacinDeDimensiones

    Saludos.

  2. angelalonso dijo:

    Gracias Juan Manuel. Me parece estupendo que tengas estas iniciativas. Me tomaré mi tiempo para estudiarlo y poder consultarte lo que no entienda. Ahora estoy de vacaciones y tengo todo bastante desatendido.

    Saludos.

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